La théorie des jeux

Faire le bon choix

 

On ne touche pas à l'image! copyright Fotolia, choix des 3 portes fermées
La théorie des trois portes fermées

La théorie des jeux est un outil conceptuel permettant de modéliser les stratégies rationnelles de plusieurs acteurs en situation d’incertitude sur les comportements des autres acteurs.

Ai-je fait le bon choix ? Une question récurrente à se poser. Pour y parvenir , il existe des techniques. La théorie des jeux concerne plusieurs domaines. Ses outils peuvent nous y aider, en raisonnant dans des situations pratiques.

Ils sont :

– L’ organisation des réseaux de communication,
– L’ordonnancement des tâches,
– La gestion du flux automobile
– les mariages…

La bonne direction. Un jour ou l’autre, nous avons tous été confrontés à faire des choix, au quotidien et nous le serons tout au long de notre vie. Mais comment arriver à faire le bon ? En effet, tous les jours des acteurs économiques prennent des arbitrages stratégiques, comme nous avons sans doute été amenés aussi à en prendre. Il faut savoir qu’en l’absence de connaissances de l’ensemble des éléments nécessaires à une prise de décision optimale, ces initiatives stratégiques ne seront pas idéales pour notre pérennité. Et qu’il ne faut pas prendre de dispositions sans connaître ce que font les autres ou nos concurrents.

En économie. La théorie des jeux sera utilisée pour prendre des décisions stratégiques mais dans un environnement incertain. L’objectif est alors de comprendre les scénarios qui ont lieu quand les résultats d’un acteur dépendent des décisions des autres. Chaque « joueur » prend alors sa décision en fonction des possibles comportements à venir des autres. Par exemple, si vous êtes une entreprise de spiritueux, sortirez-vous votre nouveau whisky Premium 21 ans d’âge, à la même période que Jack Daniel’s a prévu de sortir le sien et de le positionner en tête de gondole ? La réponse est non, car certaines ventes lui reviendraient quand vous connaissez sa place de leader sur le marché…

En conclusion. Cette théorie met en avant que les décisions des entreprises ne sont pas prises en fonction du profit immédiat mais également en anticipant les futures créations des autres acteurs du marché.

Les limites de cette théorie.  Si la théorie des jeux a des qualités pour prédire des actions à venir, utilisant des moyens scientifiques pour créer des modèles d’analyse comportementale, elle a néanmoins ses limites. Cette théorie négligerait vraisemblablement des événements extérieurs, notamment naturels qui ont autant d’influence que les autres acteurs du « jeu ».

La Grèce

 
Quand la mise en pratique de la théorie des jeux permet au ministre rock star de réussir à tenir tête à l’Europe. Dans l’actualité et l’activité récentes, si l’on considère que la Grèce et ses créanciers européens, dont les intérêts à la base divergent, sont les deux acteurs de ce « jeu », la question a été posée de savoir si nous pourrions imaginer un point d’équilibre de leur négociation actuelle, selon la théorie des jeux  ? 

Le ministre des Finances de la Grèce, Yanis Varoufakis, est un économiste spécialiste de la théorie des jeux. Or, les négociations avec l’UE qu’il essaie de mener ont quelques ressemblances avec cet outil conceptuel. Le dilemme du prisonnier, illustration typique de la théorie des jeux, amène comme conclusion que la coopération est toujours le meilleur choix, celui qui maximise les gains additionnés des deux protagonistes. La théorie des jeux dans son acceptation originelle suppose que les deux acteurs ont une connaissance transparente des motivations et des gains de l’autre joueur.

Mais dans le cas de la Grèce, le jeu est à information incomplète. La Grèce pouvant faire jouer deux menaces,  pour pouvoir sortir d’un jeu visible par tous : demander une aide financière à la Russie, voire quitter totalement le jeu en quittant l’euro…

 

Les calculs élémentaires de probabilité

Selon un article paru dans le monde,  notre intuition des probabilités serait faussée, induisant de mauvais choix. Posons-nous la question : à partir de combien de personnes réunies dans une pièce la probabilité de trouver une date d’anniversaire commune est-elle supérieure à 1/2 ? La réponse est 23. Mais, dès qu’il y a 57 personnes, cette probabilité monte à 99 %.

 

La théorie des trois portes fermées

 

Autre exemple qui donne à réfléchir.

 

Vous participez à un jeu où l’on vous montre trois portes fermées.

Derrière l’une de ces trois portes se trouve un prix (supposé vous intéresser…) et rien derrière les deux autres portes. Première étape, le meneur de jeu vous demande de désigner une porte (mais il ne l’ouvre pas). Deuxième étape : le meneur ouvre une des deux autres portes où il n’y a rien. Il reste donc deux portes closes, l’une avec un prix derrière et l’autre avec rien.

Dans cette dernière étape, celle de l’ouverture de la porte, le meneur de jeu vous demande si vous préférez conserver votre choix initial et ouvrir cette porte, ou bien dans le cas contraire, si vous préférez changer de choix et ouvrir l’autre porte. Pour mieux dire, quel serait votre meilleur choix, dans votre intérêt, pour maximiser vos chances de gagner ?

Réponse, on ne peut plus curieuse : Il vaut mieux changer de choix et ouvrir l’autre porte, car vous aurez alors deux chances sur trois de gagner le prix, alors que vous n’en aurez qu’une sur trois si vous persistez dans votre choix initial.

 

Le paradoxe de Monty Hall

On nous dit d’imaginer le même jeu où l’on vous demande de désigner une carte au hasard parmi 52 cartes face cachée, puis on retourne 50 autres cartes qui ne sont pas l’as de pique. Parmi les deux cartes restantes, où pensez-vous que se cache l’as de pique ? Les probabilités sont dans ce cas de 1/52 si vous conservez votre choix initial et de 51/52 (un peu plus de 98 %) si vous modifiez votre choix, parce que vous aurez retourné en tout 51 cartes sur 52.

Ce « paradoxe de Monty Hall » a été mis en scène sous la forme de jeux télévisés à partir des années 1960, les présentateurs s’en sont donnés à cœur joie pour essayer de convaincre, avec tout le talent qu’on leur connaît, et l’intérêt à la clé,  les candidats naïfs de ne pas changer de choix…


Gagner. On dit que la bonne connaissance des caractéristiques d’un jeu peut ainsi aider à gagner. Comme au black jack,  jeu de Casino américain qui se joue avec des cartes, où cette connaissance pourrait se révéler précieuse : les personnes qui parviennent à se souvenir des cartes déjà sorties peuvent analyser leur probabilité de gagner, en fonction des cartes qui ne sont pas sorties, et miser au bon moment. Plusieurs équipes ont défrayé la chronique avec cette méthode, dite du comptage de cartes, pour berner nombre de casinos à travers le monde.

L’algorithme de Shapley

D’une manière plus générale, le problème des mariages stables est une version simplifiée des problèmes de couplage optimal, où l’on cherche à affecter des étudiants dans des établissements à effectifs limités en tenant compte des préférences de tous. Des problèmes dont les solutions stables peuvent se calculer par l’algorithme de Shapley.

Les mariages stables

En mathématiques et en informatique, le problème des mariages stables consiste à trouver, étant donné n hommes et n femmes, une façon stable de les mettre en couple. La stabilité signifie que chaque femme et chaque homme préfère rester avec son conjoint présent plutôt que d’être avec quelqu’un d’autre.

L’équilibre de Nash. L’exemple le plus connu est le problème des mariages stables. Il consiste à trouver, étant donné un certain nombre d’hommes et autant de femmes, une façon stable de former des couples sans que personne n’y voit d’objection (sans qu’aucune femme ni qu’aucun homme préfère être avec un autre partenaire). Non seulement Shapley a montré l’existence de plusieurs solutions stables à ce problème mais, avec son collègue David Gale, il a donné une solution algorithmique, c’est-à-dire une manière de calculer ces solutions.

 

Le théorème du minimax

Le mathématicien américain John von Neumann donnera le premier exemple à travers son théorème du minimax, démontré en 1928.

Ce théorème stipule que dans un jeu à deux joueurs et de somme nulle (la somme des gains potentiels de tous les joueurs est nulle), il existe une valeur moyenne représentant ce que peut gagner le premier joueur au détriment du second joueur si ceux-ci jouent de manière rationnelle (c’est-à-dire en cherchant à optimiser leurs gains).

C’est un autre mathématicien, John Nash, qui étendra dans les années 1950 les travaux de von Neumann en s’attaquant aux jeux à plus de deux joueurs à somme non nulle (la somme des gains de tous les joueurs peut être quelconque). Il établira la notion d’équilibre de Nash : un point d’équilibre du jeu où tous les joueurs se disent satisfaits du résultat. Par exemple, dans le jeu pierre-feuille-ciseaux, un équilibre de Nash est atteint si les joueurs jouent chaque coup avec une probabilité de 1/3. Pour ce résultat et d’autres contributions en théorie des jeux, Nash recevra le prix Nobel d’économie en 1994.

Les choix stratégiques

Les choix stratégiques que l’on peut faire, par exemple lors d’une élection, sont concernés également par des considérations probabilistes, menant parfois à des paradoxes.

Ainsi, il est possible, lors d’un vote où l’on demande de classer trois candidats (A, B et C) par ordre de préférence, qu’une majorité de votants préfère A à B, qu’une autre préfère B à C, mais qu’une autre choisisse C plutôt que A ! C’est parce que la relation de préférence n’est pas transitive que ce paradoxe, énoncé par Nicolas de Condorcet en 1785, apparaît.

Relation de non-transitivité. Au-delà de la compréhension individuelle de la multitude de jeux qui existent, les mathématiciens ont commencé à formaliser des problèmes de stratégies et de choix à travers la théorie des jeux. Le jeu s’entend ici comme une confrontation entre deux joueurs, comme le cas du jeu populaire pierre-feuille-ciseaux, mais avec un gain variable associé à chaque victoire, de sorte que l’on puisse opter pour une stratégie qui optimise ce gain au bout d’un certain temps.

Pierre-feuille-ciseauxLa pierre, la feuille et les ciseaux

Pierre-feuille-ciseaux est un jeu effectué avec les mains et opposant un ou plusieurs joueurs. Il existe de nombreuses variantes régionales et appellations.

De façon générale, la pierre bat les ciseaux (en les émoussant), les ciseaux battent la feuille (en la coupant), la feuille bat la pierre (en l’enveloppant). Ainsi chaque coup bat un autre coup, fait match nul contre le deuxième (son homologue) et est battu par le troisième.

Les Supériorités et Infériorités régissant le jeu sont les suivantes :

  1. La Pierre l’emporte sur les Ciseaux et s’incline devant la Feuille.
  2. La Feuille l’emporte sur la Pierre et s’incline devant les Ciseaux.
  3. Les Ciseaux l’emportent sur la Feuille et s’inclinent devant la Pierre.

 Variante. Dans certaines de ces variantes, de nouveaux symboles apparaissent : comme le puits bat la pierre ainsi que les ciseaux (en les faisant tomber au fond), et est battu par la feuille (qui le recouvre). Afin de garder une probabilité de victoire égale entre chaque objet, un cinquième objet, la bombe a été créé. Elle fait exploser le puits et brûle la feuille, mais les ciseaux coupent la mèche et la pierre ne craint rien. Donc chaque objet gagne contre 2 et perdent contre les 2 autres.

 Autre variante. Une nouvelle variante a été popularisée par la série américaine The Big Bang Theory, mais originalement créé par Sam Kass and Karen Bryla. Il s’agit de Pierre-Papier-Ciseaux-Lézard-Spock. Ici, les règles classiques s’appliquent, mais il faut ajouter que le lézard mange le papier, empoisonne Spock, est écrasé par la pierre et est décapité par les ciseaux. Spock vaporise la pierre, casse les ciseaux, et est discrédité par le papier. Cette variante augmente le nombre de combinaisons de 3 à 10, et est censée réduire le nombre d’égalités entre deux joueurs qui se connaissent.

 Encore une autre variante. Une, française, a été popularisée par le jeu Le Tout (inventé par les Tobiffleurs). Il s’agit de Pierre-Feuille-Ciseaux-Galaxie-Acarien. Ici, on reprend les règles classiques en ajoutant la galaxie qui dématérialise la pierre, la feuille et le ciseau, mais implose à cause de l’ acarien. L’ acarien se fait écraser par la pierre, la feuille et le ciseau.

Anecdote. En 2005, le président d’une grande entreprise japonaise a fait jouer à ce jeu les représentants de Christie’s et de Sotheby’s pour décider laquelle des deux maisons pourrait organiser la vente d’une collection de tableaux impressionnistes appartenant à sa société et qui comptait notamment un Picasso, un Cézanne et un Van Gogh. Les ciseaux de Christie’s ont battu le papier de Sotheby’s.

 

Liens en rapport avec la théorie des jeux :

– Article intéressant : Philippe Solal, « À quoi sert la théorie des jeux ? », La Vie des idées, 31 décembre 2014. ISSN : 2105-3030. URL : http://www.laviedesidees.fr/A-quoi-sert-la-theorie-des-jeux.html

La théorie des jeux avec Universalis

Sources : – La théorie en pratique avec Atlantico
– Le Monde
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